9) Meteorologia dinamica – vorticità potenziale
Meteorologia dinamica – vorticità potenziale
di Claudio Giulianelli
Villa San Giovanni in Tuscia, (VT), 2 Settembre 2020 – Abbiamo visto che la vorticità in 2D si conserva, ma non in 3D ed infatti in atmosfera la vorticità non si conserva, come avevamo osservato nell’articolo 7. Il nostro intento sarà quello di cercare, se esiste, una quantità che si conserva anche nel caso 3D.
Sulla vorticità avevamo anche detto che una delle cause della sua produzione o distruzione erano le velocità verticali, queste infatti operano il colmamento delle basse pressioni o lo “svuotamento” degli anticicloni (articolo 7). Ci manca, in ultimo, da scoprire come questa varia sulla Terra, basta soltanto fare il rotore delle equazioni geostrofiche. Riprendiamo quelle scritte in termini di geopotenziale.
Proviamo ad interpretare tale risultato:
Sicuramente come potevamo aspettarci un termine di vorticità è il laplaciano del geopotenziale, ossia una parte di questa quantità viene dal grado di rotazione del vento attorno ai sistemi sinottici. L’altro termine è più complicato, infatti guardandolo vediamo che per essere non nullo abbiamo bisogno che esista una componente zonale del vento e indirettamente anche quella meridiana, in quanto un vento nord-sud porta una variazione di f con la latitudine. Si tratta però di una informazione indiretta e non di grande utilità, riscriviamolo in un’altra forma: infatti il parametro di Coriolis f è una funzione seno della latitudine, la sua derivata un coseno. Il risultato finale è il seguente
Ci accorgiamo ora che la nostra atmosfera, pure fosse 2D, sarebbe un fluido 2D non proprio comune (non possiamo trascurare le vicende sulla verticale avevamo già visto, ma le caratteristiche dei fluidi 2D che anch’essa presenta sono particolari). Infatti in un fluido piano la vorticità sarebbe stata soltanto dovuta alle derivate seconde del geopotenziale. La particolarità dell’atmosfera sta nella sua geometria,infatti è approssimativamente una superficie, quindi un oggetto 2D, ma definita in 3D, essendo sferica. Se la Terra fosse piatta, il termine con la tangente dell’angolo a denominatore non esisterebbe! Ora che abbiamo la relazione che ci dice come la vorticità varia spazialmente sulla Terra, interpretiamola.
Alle alte latitudini, solitamente il vento zonale u è piuttosto forte, ma la tangente della latitudine è infinito ai 90 nord, quindi quel termine è nullo. Scendendo di latitudine, u è ancora alto mentre la tangente già in 5 gradi di latitudine in meno diventa un numero dello stesso ordine di grandezza di quello del vento. Quindi a latitudini poco inferiori vi sarà un forte aumento di vorticità, in quanto improvvisamente avremo l’attivazione di questo secondo contributo. Scendendo di latitudine ed arrivando dunque alle medio/basse latitudini, u è sempre più debole mentre la tangente della latitudine diminuisce ma più lentamente del vento zonale medio, dunque la vorticità continua a diminuire seppur meno in fretta, fino all’annullamento di tale termine quando la zonalità diventa nulla alle latitudini tropicali. Anche la tangente diventa nulla all’equatore, ma come vedremo più avanti per spiegare la circolazione delle latitudini inferiori il vento geostrofico non vale più.
In questo grafico è rappresentato l’andamento con la latitudine della quantità u/tan(fi). Possiamo interpretare questo grafico pensandolo come una distribuzione media della vorticità in atmosfera in base alla latitudine a cui mi trovo. I valori maggiori si trovano alle alte latitudini e i valori minori in prossimità del polo e del tropico. Se si fa riferimento a quanto era stato detto sulla vorticità, ossia che questa è legata alle velocità verticali e ci evidenzia i fronti freddi, si capisce come le zone che vedano passare più fronti siano le alte latitudini, poi sempre di meno scendendo verso sud fino ad assenza di fronti e piogge ai tropici. A questo grafico, per avere la vorticità totale, va poi sommato l’altro contributo, quello del laplaciano del geopotenziale, che darà un andamento complessivo a questo grafico meno regolare in quanto le basse pressioni danno la variabilità atmosferica, ma quanto abbiamo appena detto è una regola generale in media valida. Questo grafico può essere visto come una probabilità di trovare un fronte spostandosi di latitudine, come possiamo vedere è massima nella zona subpolare.
Andiamo ora al punto centrale di questo articolo. C’è un’altra quantità che si conserva in 3D, che ora andremo a vedere
Possiamo vedere la non conservazione della vorticità in atmosfera nel seguente modo, usando il teorema del rotore. Nell’articolo 7 avevamo visto che la vorticità in atmosfera non si conservava perchè non potevamo trascurare le velocità verticali e la divergenza del vento gesotrofico. Rivedendo la cosa in questo modo capiamo anche altro…
Portando dentro la derivata temporale e usando l’equazione di Eulero, scopriamo la seguente cosa
Riutilizziamo il teorema del rotore sull’ultimo integrale, ossia
A prima vista potremmo dire che il rotore del gradiente è matematicamente nullo e troviamo che la vorticità si conserva, ma quest’ultimo integrale è non nullo, in quanto la densità è una funzione di z, dunque la derivata temporale del rotore è non nulla e la vorticità non si conserva. Come avevamo già anticipato, la non conservazione è dovuta a ciò che accade sulla verticale (e ciò che abbiamo visto ne è una ulteriore conferma, in quanto la densità avevamo detto essere costante sul piano e variabile lungo z). Avevamo visto però che sul piano i moti geostrofici sono a divergenza nulla. I fluidi a divergenza nulla conservano la vorticità, in quanto la divergenza dei moti atmosferici viene nulla se assumiamo la densità costante, cosa vera se ci si muove sempre alla stessa quota, e dunque nel conto fatto sopra per i moti sul piano, caratterizzati da rho costante e divergenza nulla, quell’integrale di superficie è il rotore del gradiente di pressione ed è dunque nullo.
A questo punto ci rifacciamo a quanto detto negli articoli precedenti, quando abbiamo osservato che in atmosfera la condizione di divergenza nulla era soddisfatta in atmosfera nei moti sul piano, per quanto potesse sembrare strano, come se l’aria fosse un fluido incomprimibile.
Proviamo allora a definire una conservazione della vorticità sul piano. In atmosfera i moti a divergenza nulla avvengono su superfici isentropiche, ossia a temperatura potenziale costante. Al posto della densità allora sostituiamo la temperatura potenziale nel seguente modo:
Abbiamo prima riscritto la densità in termini delle altre variabili dell’equazione di stato e poi sostituita la definizione di temperatura potenziale . Ora prendiamo il risultato e lo mettiamo nell’ultimo integrale trovato sopra col rotore del gradiente della pressione diviso la densità.
Il p^k-1 per il gradiente di p può essere riscritto osservando che p^k-1 è la derivata (e quindi il gradiente) di p^k, dunque
Ora usando il teorema del rotore, e facendo il rotore di tale quantità, abbiamo di nuovo il rotore di un gradiente che viene 0: abbiamo scoperto che la vorticità in atmosfera si conserva separatamente sui vari piani isoentropici. Come vedremo più avanti nell’instabilità baroclina, questo ci fa già presagire che alle varie quote atmosferiche ogni strato ha la sua dinamica di evoluzione. Ma i vari strati tra loro sono totalmente scorrelati o comunicano in qualche modo? Abbiamo visto che la vorticità si conserva in un fluido 2D e non in 3D, e infatti quello che abbiamo trovato per l’atmosfera è che la conservazione sui vari piani è rispettata, ma la vorticità complessiva non si conserva, ossia se si tiene conto della terza dimensione. La domanda che ci poniamo è se le superfici a theta costante sulle quali si conserva la vorticità sono legate tra loro in qualche modo. Se la risposta è si, ossia la dinamica alle varie superfici non è totalmente indipendente, allora troveremo una quantità che si conserva, che non è più la vorticità ma un’altra quantità che ci dice come sono relazionati i vari piani tra loro.
Prendiamo una colonna d’aria compresa tra le due superfici, di massa
abbiamo usato l’equilibrio idrostatico. Da qua ricaviamo l’area della colonna
Abbiamo moltiplicato e diviso per delta theta nell’ultimo passaggio.
Sappiamo che in atmosfera sulla superficie a theta costante
Al posto di dsigma mettiamo l’area della colonna. Inglobiamo la gravità e la delta M nella costante, alla fine abbiamo che
La quantità Pi greco è chiamata vorticità potenziale di Hertel, ed essendo una costante si conserva lungo tutto il moto. Il problema della non conservazione della vorticità assoluta è presto risolto: quando questa aumenta, il gradiente di theta con la quota deve diminuire per tenere il prodotto costante. Diminuzione del gradiente di temperatura vuol dire che la colonna d’aria si sta allungando, verso l’alto, e ricordandoci che la massa si sta conservando, stiamo stirando la colonna d’aria, che si fa più stretta e gira più velocemente, in accordo anche con la conservazione del momento angolare.
Tale oggetto spiega l’esistenza della bassa pressione semi-permanente d’Islanda e delle isole aleutine: infatti le correnti occidentali nel primo caso escono dal Canada, gelide e prevalentemente secche, quindi con un forte gradiente termico verticale. Nell’attraversamento del mite oceano atlantico il gelo si arricchisce di umidità, l’aria si mitiga soprattutto nei bassi strati e la superficie a theta costante dunque sale di quota. Il gelo in uscita dal Quebec dunque si invortica generando profonde depressioni. Analogamente il gelo siberiano che si getta sul Pacifico . Essendo la latitudine costante in questo contesto, dell’assoluta ad aumentare è la relativa, la zeta greca, ossia la rotazione della massa d’aria.
Esiste un’altra forma di vorticità potenziale, chiamata vorticità potenziale di rossby, che non ricaveremo, citando direttamente il risultato finale
l’interpretazione è del tutto analoga a quella di Hertel, infatti la distanza tra le due superfici a theta costante in Hertel ha proprio il significato di h, ossia di altezza della colonna di fluido che separa le due superfici. Perchè allora esistono due forme diverse della vorticità potenziale? perchè è stata scoperta nello stesso periodo da due ricercatori diversi, coloro che ne hanno dato il nome. Quella di Hertel è più generale, infatti l’altezza della colonna di fluido della vorticità di Rossby non è un oggetto ben definito, nella formulazione di Rossby compare appunto “h”, mentre lo è in Hertel dove l’altezza della colonna d’aria è data dal gradiente di theta con la pressione.
La vorticità di Rossby si adatta meglio alla spiegazione delle depressioni orografiche: ad esempio i venti atlantici che arrivano sul mediterraneo portando i fronti, formano la ben nota bassa pressione di Genova, dovuta al fatto che i venti nei bassi strati scendono di quota fino al mar Ligure. Abbiamo dunque un aumento dell’altezza della colonna d’aria e un invorticamento della massa d’aria in arrivo.
Alla fine di questi articoli vedremo alcuni esempi sulle carte degli effetti della conservazione della vorticità potenziale.