3) Meteorologia dinamica – Vento geostrofico

Con queste equazioni semplificate/approssimate avevamo detto di essere in grado di descrivere molto bene il comportamento dell’atmosfera (nota: nella relazione sopra V_H è un vettore di componenti (x,y), non compare per errore il simbolo di vettore sopra la lettera). Si possono fare ulteriori considerazioni e semplificazioni alle equazioni valide praticamente per ogni tempo senza commettere errori degni di nota. Ma facciamo prima un’approssimazione un po’ più forte e se vogliamo discutibile.
Quello che si può dire, guardando l’equazione del vento per il piano, è che le accelerazioni orizzontali in atmosfera sono piccole, abbastanza piccole, e possiamo prenderle per nulle. Se per esempio guardiamo i cumuli viaggiare, vediamo un moto pressoché uniforme, non vediamo le nubi scattare rapidamente come un corridore nel giro di qualche minuto (sempre parlando di cumuli che viaggiano sulla nostra testa, non dei cumulonembi a sviluppo verticale dove le accelerazioni sono molto forti, ma come avevamo già detto non ci interessano). Sulla base di questa osservazione mandiamo a zero il termine di derivata parziale temporale e il termine avvettivo. Abbiamo ottenuto un equilibrio tra forze, chiamato equilibrio geostrofico. In questo equilibrio, il gradiente di pressione è un vettore che punta verso il minimo di bassa pressione, perpendicolare alle isobare, mentre sulla stessa direttrice ma puntando verso l’esterno di un vortice, agisce la forza di Coriolis. In modulo i vettori si eguagliano, come suggerisce la relazione ottenuta. Dunque la soluzione di questo equilibrio ,il vento geostrofico, è un vettore sempre tangente alle isobare ( per costruzione geometrica, se il gradiente di pressione è un vettore perpendicolare alle isobare, e quest’ultimo è perpendicolare al vento, il vento dovrà essere parallelo alle isobare), e dunque il vento geostrofico lo si individua da una mappa di geopotenziale a 500 semplicemente seguendo le linee di geopotenziale. Per le quote inferiori questo non è vero, infatti ci siamo lasciati dietro l’attrito con il suolo. Questo caso verrà ripreso in considerazione alla fine. Da questo momento in poi chiameremo u la componente zonale del vento, v quella meridionale e w quella verticale.

Abbiamo dunque trovato una soluzione alle equazioni, che ci ha fornito il vento e quindi la previsione di tutta la circolazione atmosferica. Purtroppo però quanto abbiamo trovato non è la soluzione più generale possibile, infatti l’approssimazione fatta sopra ha un problema: mandando a 0 il membro di sinistra dell’equazione abbiamo tolto la variazione temporale alle figure bariche in atmosfera. Ovviamente sappiamo che il tempo atmosferico evolve, cambia ogni giorno e quindi questa approssimazione è un po’ drastica. Ma la condizione di equilibrio geostrofico ci sta dicendo appunto che il vento ad un tempo fissato segue le linee di pressione. Per convincerci della validità di quanto visto possiamo pensare appunto a questo equilibrio come ad una soluzione stazionaria dell’equazione di Eulero per il piano. Il membro di sinistra dell’equazione, somma del termine di derivata pariziale nel tempo più termine avvettivo, come al solito può essere infatti riscritto come derivata totale della velocità nel tempo (secondo quanto visto negli articoli precedenti). Cercare una soluzione stazionaria vuol dire porre questa derivata totale nulla (e dunque condizione stazionaria sia nello spazio che nel tempo) . Questa condizione è ben soddisfatta in libera atmosfera e il vento in generale è geostrofico, e dovremo capire cosa ne determina la sua evoluzione nel tempo.
Queste sono le equazioni del vento geostrofico, a cui si arriva dopo vari passaggi



Segnaliamo un errore di battitura nei passaggi sopra: davanti il termine 1/rho per la derivata della pressione in x e in y nelle ultime due immagini è presente un segno meno che non dovrebbe esserci.
Si è chiamato il prodotto 2*omega*sen(fi) con la lettera f,ed è noto come parametro di coriolis. Si noti che per fare il prodotto vettoriale tra omega e v,le componenti di omega sono state prese sul piano y e z invece che su x e z perchè ci interessava avere un’informazione sulla latitudine (l’angolo fi rappresentato in figura),che varia con la y. Mentre per la velocità si sono prese tutte e 3 le componenti del vento,tra cui la w,la velocità verticale, componente che compare nell’espressione per “i ” ma che abbiamo mandato a zero coerentemente con quanto detto per l’equilibrio idrostatico.
Soffermiamoci qua sul vento geostrofico: le equazioni sopra scritte infatti legano il vento ai gradienti di pressione in x e y,ma le variazioni di pressione sul piano per dare un senso a queste equazioni devono essere ad una quota fissata. Inoltre nelle equazioni compare la densità che solitamente non si misura. Si preferisce dunque usare il geopotenziale (indicato con la lettera greca “fi” maiuscolo),definito come il lavoro che bisogna fare per portare una massa d’aria dal suolo ad una data quota z.

Se i valori di pressione a tale quota sono diversi,dovrò fare più lavoro per portare la massa d’aria laddove la pressione è maggiore. In questo modo alla quota z ho dei gradienti di geopotenziale che dunque mi definiscono molto bene il vento geostrofico. Vediamo ora come fare questo cambio di variabile,da pressione a geopotenziale.
Osserviamo che la pressione è una funzione del tempo e delle 3 coordinate spaziali. Possiamo dunque scrivere la derivata totale della pressione in questo modo,usando poi l’equilibrio idrostatico ed il fatto che stiamo seguendo linee a pressione costante e dunque dP=0:

mentre posso esprimere in forma differenziale il geopotenziale in questo modo (i seguenti passaggi verranno fatti solo per la coordinata x ma sarà lo stesso per la y)

infine basta sostituire la relazione tra i differenziali di pressione nella relazione col geopotenziale per ottenere le equazioni nella nuova forma



oppure in termini di altezza geopotenziale Z,tenendo conto della definizione,abbiamo ancora

Nelle carte meteo viene rappresentato non il geopotenziale in senso stretto,infatti questa quantità qui usata dimensionalmente è un’energia. Viene usata l’altezza geopotenziale,con la seguente idea: l’energia spesa per portare la massa d’aria dal suolo ad una data quota (che possono essere i 500 hpa) è diversa in ogni punto. Oppure posso dire di fissare l’energia da spendere (per esempio il lavoro che serve per portare la massa d’aria da 1000 ai 500 hpa),ma a cambiare è l’altezza a cui devo arrivare. Laddove ho un’alta pressione avrò un’altezza di geopotenziale maggiore. Quindi guardo la quota isobarica di 500 hpa e vedo l’altezza geopotenziale. Seguire le linee di altezza geopotenziale mi da il vento a tale quota.
Ecco evidenziata la situazione in questa carta: le frecce in verde rappresentano il vento,in rosso il gradiente di pressione ed in nero la forza di coriolis,con riferimento all’altezza geopotenziale (colori) a 500 hpa.