13) Meteorologia dinamica – il ciclo dell’energia (di lorentz)
Meteorologia dinamica – il ciclo dell’energia (di lorentz)
di Claudio Giulianelli
Villa San Giovanni in Tuscia (VT), 29 Gennaio 2021 – Abbiamo detto negli articoli precedenti che una sorgente di vorticità in atmosfera era lo shear , ossia la variazione del vento con la quota. Abbiamo visto che questo entrava in gioco in un’atmosfera baroclina, ed abbiamo suddiviso la colonna d’aria in due strati. Alla fine dell’articolo precedente avevamo visto che quando l’atmosfera è baroclina è instabile, ossia la situazione di dislocamento di un sistema sinottico nei due strati, ad esempio una bassa pressione che ha il minimo nello strato inferiore non sovrapposto a quello dello strato superiore, era instabile ed il sistema tendeva ad evolvere sempre in quella stabile barotropica, con approfondimento e accentramento dei vortici dei due strati. Questa situazione rappresenta un passaggio di energia da potenziale a cinetica, infatti l’approfondimento del minimo sta a significare che il vento che ruota attorno la bassa pressione sta aumentando, e dunque la sua energia cinetica aumenta (l’energia cinetica è l’energia disponibile al moto della massa d’aria).
Questo trasferimento di energia è solo una parte di tutti gli scambi di energia che avvengono in atmosfera, un trasferimento di energia che si incastra all’interno di quello che viene chiamato ciclo di Lorentz. Il ciclo di Lorentz ci dice come l’energia regola la circolazione atmosferica, quanto anticipato sopra naturalmente è solo un tassello.
Conoscere il ciclo di Lorentz è importante per capire come potrà evolvere il tempo su scale temporali della settimana, almeno in linea di massima, quindi per poter fare delle tendenze meteo medio-lungo termine, ma su questo torneremo più in dettaglio nel prossimo articolo, con esempi applicativi
Chi osserva carte meteo avrà certamente notato che in genere il vento è zonale, diciamo in larga parte. Sono rare le situazioni in cui la circolazione si fa puramente meridiana, con ondate di freddo verso le basse latitudini e di caldo verso le alte. Il vento medio delle medie latitudini dunque sarà in prevalenza zonale. La circolazione zonale è chiamata anche circolazione simmetrica, simmetrica rispetto al polo. Le variazioni a questa circolazione (quelle che appunto possono sfociare in una ondata di freddo o di caldo) vanno a costituire quella che viene chiamata circolazione eddy. Eddy, tradotto dall’inglese, vuol dire vortice. In effetti un esempio di circolazione eddy è un promontorio anticiclonico o una saccatura. Il vento della circolazione zonale è il vento che viaggia da ovest verso est, il vento della circolazione eddy è il vento che ruota attorno ad un massimo o un minimo di pressione. In queste due circolazioni abbiamo riassunto tutti gli ingredienti fondamentali per capire gli scambi di energia in atmosfera, infatti queste due circolazioni scambiano energia tra di loro, e ciò ha delle conseguenze di cui accenneremo alla fine e ne vedremo poi esempi nell’articolo successivo.
Quello che dovremo fare dunque sarà prendere l’equazione del moto dal set delle quasi geostrofiche, che riassumiamo qua sotto esplicitate in forma scalare
(nell’articolo 10 abbiamo ricavato queste equazioni e le avevamo lasciate in forma vettoriale , compatta. Ora ci fa comodo vederle esplicitate)
e scomporre ogni quantità in una parte preponderante più una piccola, la eddy:
Queste saranno le nostre nuove variabili con cui riscriveremo le equazioni del vento per il piano
e quella per il calore
Per semplificare la notazione, oltre che uniformarla a quanto si trova in giro, abbiamo chiamato u la componente del vento lungo x e v la componente lungo y. Per l’equazione del calore abbiamo tolto il pedice di ageostrofico alla theta, essendo la sola componente ageostrofica quella che cambia nello spazio e nel tempo.
Ora quello che dovremo fare, dopo alcune semplificazioni delle precedenti equazioni, sarà moltiplicare la terza per la theta e le prime due per la velocità u e v rispettivamente per la prima e la seconda equazione: notiamo infatti che il prodotto di due velocità è una velocità al quadrato e dunque un’energia. Moltiplicando il primo termine, quello di derivata temporale del vento per il vento stesso, questo termine diventa, a meno di fattori costanti, la derivata nel tempo dell’energia, che è proprio quello che stiamo cercando! Per la precisione una velocità al quadrato rappresenta un’energia cinetica. In questo modo troveremo dunque l’equazione per l’evoluzione temporale dell’energia cinetica della circolazione zonale e della eddy.
Non ci resta altro che fare un po’ di conti e tirare fuori queste equazioni per l’energia, iniziando dalle semplificazioni sopra annunciate.
Anzitutto osserviamo che i termini non lineari delle 3 equazioni sopra, ossia quei termini dove la velocità moltiplica la derivata spaziale della velocità stessa o della temperatura nell’equazione del calore, possono essere semplificati. Infatti abbiamo che
(spieghiamo brevemente questa relazione: la divergenza altro non è che un’operazione di derivazione. Dunque per il membro di destra valgono le regole di derivata del prodotto e può essere riscritto come a sinistra, tenendo presente che la divergenza è una somma di derivate data dal prodotto scalare tra il gradiente e l’oggetto da derivare, dunque i prosotti a sinistra sono due prodotti scalari. Il secondo termine del primo membr è il prodotto scalare tra il gradiente e il vento, dunque la divergenza di V)
Il nostro vento è il vento geostrofico, ed ha divergenza nulla. Dunque i termini non lineari (primo termine del membro di sinistra della relazione sopra) possono essere riscritti come divergenza del prodotto tra v e v_i. Questa osservazione vale anche con theta, la temperatura al posto di v e questa modifica può essere fatta anche nell’equazione del calore, analogamente a come vedremo ora per le equazioni del vento. D’ora in avanti tralasceremo i conti per l’equazione del calore, del tutto analoghi a quelli che facciamo per l’energia cinetica.
Ora facciamo la media zonale dell’equazione.
Come si fa la media di un’equazione analitcamente? Dobbiamo applicare alcune proprietà matematiche della media. Anzitutto la media di una somma di oggetti è equivalente a fare la somma delle medie di ogni singolo oggetto. Per quanto riguarda il primo termine, quello di derivata temporale, dobbiamo fare la media zonale di una derivata temporale. Dato che la media zonale fatta sul vento non ne cambia la derivata temporale, in quanto la media zonale è una media in x e la derivata è nel tempo, possiamo portare la media dentro la derivata temporale nel primo termine. Dobbiamo allora fare la media della somma delle velocità zonale con la eddy. Di nuovo, possiamo applicare la media ad ogni singola velocità. La media di una quantità già mediata zonalmente, è la media stessa. La media zonale della componente eddy è nulla per quanto detto inizialmente. Questo naturalmente vale per entrambe le equazioni. Anche al membro di destra, quello con Coriolis, la media sulle due velocità può essere fatta come la media di ogni singola componente del vento, di nuovo la media della eddy è nulla.
Cosa succede se facciamo la media della divergenza? In generale avremo che
Con A generico campo di componenti x e y.
Infatti l’integrale applicato alle due derivate singolarmente, altro non è che l’integrale in x della derivata in x per il primo termine, e dunque è la differenza tra gli estremi. Si tratta però di un integrale in cui gli estremi coincidono, stiamo facendo infatti la media zonale, ad un dato parallelo, su tutta la circonferenza terrestre. Dunque A(Lx)-A(0)=0. L’integrale in x della derivata in y, altro non è che la media che abbiamo indicato con le parentesi quadre. Di nuovo la media è in x e può essere portata dentro la derivata in y. Da notare che dentro la derivata in y, la componente del campo A è quella y. La situazione ora è dunque la seguente
Ora, dobbiamo fare la media del prodotto di due somme dentro le derivate in y. Nella prima equazione il prodotto delle due somme, se esplicitato, ci da 4 termini: il primo tra le due quantità medie, poi i due prodotti misti tra componente media ed eddy e infine i prodotti tra le due componenti eddy. Al solito, possiamo fare la media di ogni singolo prodotto. La media del prodotto delle componenti medie del vento non cambia lo stato delle cose come detto in precedenza per l’applicazione della media su delle quantità già mediate. Per quanto riguarda i termini misti, una quantità è già media, e l’altra, la eddy, viene dunque mediata ma avevamo visto che la media della eddy era nulla, dunque la media dei prodotti misti si cancella. Rimane infine la media del prodotto delle componenti eddy. Si dimostra che anche il termine di derivata in y del prodotto delle quantità medie è nullo, vediamolo:
anzitutto la derivata del prodotto possiamo esplicitarla come segue:
Questi due pezzi sono entrambi nulli, lo vediamo se facciamo la media zonale dell’equazione della divergenza:
Infatti abbiamo che la media zonale è una media in x, quindi [u_g] non dipende più da x. La sua derivata in x è dunque nulla. Otteniamo dunque che la derivata in y di [v_y] è 0, e questo già annulla il primo termine della relazione precedente. Il fatto che la derivata di [v_y] sia nulla vuol dire che [v_y] è una costante sul dato parallelo su cui facciamo la media. Questa costante possiamo prenderla pari a 0, ossia possiamo dire che il vento meridionale è in media nullo sul canale delle medie latitudini, anche questa condizione ben verificata in atmosfera se si prende una media di ensemble a 15 giorni si trova un vento in media soltanto zonale. Questo annulla anche il secondo termine della relazione sopra.
Ora siamo pronti per moltiplicare le equazioni per le rispettive componenti del vento, per il momento le moltipichiamo per il vento medio zonale per cercare l’equazione per l’energia cinetica zonale
Ora useremo il fatto che il prodotto del vento per la derivata temporale del vento, altro non è che la derivata della velocità al quadrato con un fattore 1/2 fuori, e useremo il fatto che l’energia cinetica zonale sarà la somma dell’energia cinetica portata dal vento in x più quella in y (su questo dettaglio la situazione è un po’ più delicata ma sorvoliamo)
dobbiamo dunque sommare le due equazioni, facendone anche un integrazione di volume. L’energia complessiva della circolazione zonale sarà infatti l’integrale su tutti i volumetti di fluido facenti parte della circolazione. Indicheremo questa integrazione coi simboli <…>
Per quanto riguarda il secondo e il terzo termine del membro di sinistra, per entrambi applichiamo di nuovo le regole della derivata del prodotto di due funzioni, lo faremo vedere per il terzo termine:
Al membro di destra, il secondo termine è nullo per quanto detto anche prima, avevamo infatti fatto la media zonale dell’equazione di divergenza trovando la derivata in y del vento in y era nulla. Anche il primo termine del secondo membro è nullo, in quanto l’integrazione di volume è un integrazione anche in y di una quantità che è derivata in y. Ma per [V_y] avevamo detto che tale quantità era nulla. Quindi il termine dell’equazione per l’energia cinetica zonale con la derivata della v eddy al quadrato è nullo.
Per il termine col prodotto u_eddy * v_eddy, anche li si riscrive il termine come appena fatto usando la regola del prodotto e di nuovo il primo termine del secondo membro è nullo per lo stesso motivo, essendo l’integrale della derivata in y di una quantità, mentre il secondo è non nullo. Otteniamo dunque
Abbiamo quasi finito, rimane da semplificare il membro di destra di questa equazione
Ricordiamo che nell’approssimazione quasi geostrofica avevamo scomposto il vento totale in una parte geostrofica più una piccola ageostrofica, cosa che abbiamo utilizzato anche nei passaggi sin qui fatti. La componente geostrofica aveva divergenza nulla mentre quella della ageostrofica era legata accelerazioni verticali. Essendo la componente geostrofica del vento a divergenza nulla, avevamo potuto definire le sue componenti x e y come derivate di un potenziale, di una streamfunction, che avevamo usato anche nell’equazione di vento termico delle quasi geostrofiche, dunque il membro di destra della nostra equazione per l’energia lo riscriviamo come
Tra la seconda e la terza uguaglianza abbiamo usato di nuovo la regola del prodotto e notato che i pezzi di derivata del prodotto tra il vento e la psi si annullano quando ne facciamo l’integrale, perchè andiamo a fare l’integrale di una derivata, secondo quanto fatto nei passaggi precedenti. La somma delle derivate del vento in x e y in quel modo scritto nel terzo passaggio altro non è che la divergenza del vento ageostrofico (quarto passaggio), legata dall’equazione di continuità all’accelerazione verticale nelle equazioni quasi geostrofiche (quinto passaggio), ed infine abbiamo di nuovo usato la derivata del prodotto tenendo conto che l’integrale della derivata è di nuovo nullo. Ora vediamo che la derivata della psi in z è data dall’equazione di vento termico come scritta per le equazioni quasi geostrofiche, dunque quel termine diventa
e l’equazione finale
Abbiamo trovato l’equazione che ci dice come evolve l’energia cinetica della circolazione zonale. Diamone un’interpretazione:
Questa equazione ci dice che l’evoluzione temporale dell’energia cinetica della zonalità dipende da due cose: la prima,(primo termine del membro di destra) i flussi di momento della circolazione eddy (un flusso di una quantità è il prodotto di tale quantità per una velocità, se abbiamo il prodotto della velocità lungo x con la velocità lungo y allora abbiamo il flusso della velocità lungo x nella direzione y, ossia il campo di velocità lungo x viene trasportato nella direzione y) che vanno a moltiplicare il gradiente del vento lungo x con la latitudine. La seconda, le velocità verticali.
Entrambi i termini sono definiti positivi. Ignoriamo per un attimo il primo, facendo finta che non ci sia. Per quanto riguarda il termine delle velocità verticali, se queste sono positive (dirette verso l’alto), allora la derivata dell’energia cinetica zonale è positiva, vuol dire che l’energia cinetica zonale aumenta nel tempo. Ora facciamo finta che non esista questo termine ma solo quello con i flussi di momento. Se tale termine è positivo, di nuovo, l’energia cinetica zonale aumenta nel tempo. Il primo termine è il prodotto tra un flusso di momento e un gradiente latitudinale di vento zonale. In effetti, se guardate una qualsiasi carta meteo, noterete chiaramente come ii venti occidentali si intensifichino o anche diminuiscano salendo di latitudine. Se i venti occidentali si fanno sempre più forti salendo di latitudine allora la derivata è positiva. Se lo sono anche i flussi di momento, allora l’energia cinetica zonale aumenta nel tempo. Se invece salendo di latitudine il vento zonale diminuisce e i flussi di momento sono negativi, il termine è ancora una volta positivo e l’energia cinetica zonale aumenta. Ma cosa significa che l’energia cinetica della zonalità aumenta nel tempo? L’energia cinetica è strettamente correlata alla velocità delle masse d’aria della circolazione zonale, quindi se aumenta l’energia cinetica della circolazione vuol dire che la zonalità sta rinforzandosi. Questa è una situazione tipica di alcuni passati inverni in cui freddo e neve sono rimasti relegati alle latitudini polari, a causa di forti aumenti della zonalità. Ed in effetti una situazione tipica che porta ad un rinforzo della zonalità è proprio quando i flussi di momento sono negativi, infatti in media e alta troposfera il massimo del vento viene raggiunto intorno ai 30 gradi nord, dove vi è la corrente a getto. Quindi generalmente da tale latitudine il vento decresce andando verso nord, quindi tipicamente la derivata del vento zonale con la latitudine è negativa perchè il vento diminuisce andando verso il polo. Se i flussi di momento sono negativi allora la derivata temporale dell’energia cinetica zonale è positiva e la zonalità accelera. Vediamo quanto appena detto su delle carte:
Nella zona segnata in blu per esempio, a 200 hpa, il vento zonale medio sta decrescendo se mi porto dai 30 nord verso il polo. Nel tratto rosso sta crescendo. Nella carta sotto abbiamo i flussi di momento allo stesso istante
nella zona cerchiata sono presenti dei flussi di momento negativi, tra i 200 e i 500 hpa poco sotto i 60 nord. La linea verticale rossa separa le due zone quella a sinistra dove il vento zonale decresceva con la latitudine e a destra dove cresceva. Quello che ci aspetteremmo dunque se sono giusti i conti che abbiamo fatto, è che il flusso di momento negativo opera un’accelerazione della zonalità a sinistra della linea verticale rossa perchè li il vento decresce con la latitudine, un rallentamento invece a destra. Questo lo ritroviamo confermato nello scatto successivo
Nella zona cerchiata in blu prima avevamo un picco di 20 metri al secondo. Anche nella parte cerchiata rossa si può notare un aumento del vento zonale.
Abbiamo ricavato l’equazione per l’energia cinetica zonale. Per ricavare la eddy si segue lo stesso procedimento, moltiplicando le equazioni del moto quasi geostrofiche per la velocità eddy. Non lo faremo in quanto risulterebbe noioso e inoltre non proprio necessario, infatti se ricordate le equazioni del moto di partenza, queste erano composte del termine di derivata temporale, dei termini avvettivi e di Coriolis, che sono appunto le equazioni del moto dell’approssimazione quasi geostrofica. In queste equazioni mancano termini dissipativi! In sostanza le quasi geostrofiche conservano l’energia. Può sembrare un campanello d’allarme, ma in realtà vedremo poi nei prossimi articoli che la dissipazione interviene nell’attrito dei bassi strati col suolo. Noi non ne stiamo tenendo conto. Ma se le nostre equazioni devono conservare l’energia, vuol dire che la somma dell’energia associata alla circolazione zonale con quella della circolazione eddy deve essere costante nel tempo, e la somma delle equazioni per la variazione temporale dell’energia delle due circolazioni deve essere nulla, ossia la variazione temporale dell’energia totale deve essere nulla… Questo vuol dire che i due termini che abbiamo visto nell’equazione per l’energia cinetica zonale dovranno comparire nella stessa forma nelle altre equazioni e con segni opposti. In effetti si trova che nelle equazioni per le energie potenziali compare il termine con la velocità verticale (per avere l’equazione per l’energia potenziale dovevamo moltiplicare l’equazione del calore per la temperatura, quindi è lecito aspettarsi che il termine w*theta compaia anche nelle equazioni per i potenziali). Tale termine compare di segno opposto nei potenziali, quindi se per ciascuna delle circolazioni si sommano le equazioni per l’energia cinetica e per la potenziale, si vede che l’energia totale della circolazione non dipende da tale termine che rappresenta dunque uno scambio tra potenziale e cinetica della relativa circolazione. Abbiamo anche visto che nell’equazione per la cinetica zonale compare il termine dei flussi di momento, tale termine compare di segno opposto anche nell’equazione per la cinetica eddy, anche questo ce lo potevamo aspettare dato che il termine del flusso di momento è strettamente legato al campo di velocità. Nelle equazioni per i potenziali compare infine un ultimo termine che non abbiamo visto finora, che è il flusso di calore, anche in questo caso compare di segno opposto nelle equazioni per le energie potenziali. Se si sommano dunque le equazioni per le due circolazioni, ogni circolazione contiene un termine di flusso di calore e di flusso di momento, di segno opposto rispetto all’altra. Sommando le equazioni delle due circolazioni si annulla tutto e l’energia è conservata. Riassumiamo le 4 equazioni qua sotto e quanto detto sarà più chiaro
Avevamo detto precedentemente che a seconda dei segni dei termini i trasferimenti di energia possono avvenire in entrambi i sensi, da cinetica e potenziale e viceversa o da zonale ed eddy o viceversa. In realtà esistono poi delle situazioni tipiche che sono riassunte in quello che viene chiamato ciclo di Lorentz, che vi mostriamo qua sotto
In questo articolo abbiamo visto come interpretare i flussi di momento se si dispone di mappe che quantificano le nostre quantità presenti nell’equazione. Si può però capire, guardando una carta della sinottica, come sta avvenendo lo scambio tra energie cinetiche della circolazione zonale con la eddy, se dalla prima alla seconda o viceversa, vedremo come nel prossimo.
Per quanto riguarda il passaggio di energia da cinetica eddy a zonale, in realtà con una certa frequenza avviene anche il contrario, in effetti sarebbe opportuno mettere una freccia anche nell’altro senso, nel prossimo articolo vedremo esempi di questo trasferimento di energia sulle carte e quando sarà più chiaro di cosa stiamo parlando vi potrete rendere conto di quanto effettivamente gli scambi avvengano in entrambi i sensi con discreta facilità.