7) Meteorologia dinamica – Vorticità
Meteorologia dinamica – Vorticità
di Claudio Giulianelli
Villa San Giovanni in Tuscia (VT), 7 Luglio 2020 – Fin ora abbiamo approssimato la nostra atmosfera come un fluido bidimensionale. Lo abbiamo fatto nel momento in cui abbiamo imposto l’equilibrio idrostatico ad esempio, abbiamo detto che i moti e la circolazione generale atmosferica sono in prevalenza sul piano. Ci eravamo però anche accorti nel precedente articolo che secondo tale ragionamento, trascurando il termine di derivata in z della rho*Vz nell’equazione di continuità, stavamo facendo un’approssimazione troppo forte in quanto la condizione di divergenza nulla per il vento geostrofico non era verificata dal calcolo matematico della divergenza. Dunque dovevamo tenere conto del termine di derivata in z di rho*Vz, ossia le velocità verticali hanno un ruolo non trascurabile. Ma tenere conto dei moti sulla verticale vuol dire tenere conto dell’esistenza della terza dimensione in atmosfera che dunque non può essere considerata un fluido esattamente bidimensionale. Vedremo poi che le equazioni primitive possono essere approssimate in quanto gli effetti dovuti ai moti sulla verticale sono comunque decisamente più piccoli, perturbativi, di quelli sul piano.
Ricordiamo anche brevemente che condizione di divergenza nulla significa incomprimibilità del fluido (si faccia riferimento all’articolo già citato sul perchè le nubi mantengono la loro forma). Può sembrare assurdo per un gas ma in alta quota dove i moti su scala continentale sono laminari o quasi, l’agitazione termica delle molecole non distrugge ad esempio la forma della nube, in media il numero di particelle per unità di volume si mantiene costante nel tempo durante la traslazione, come se il fluido fosse incomprimibile. Almeno su scale temporali di qualche giorno per le alte quote (che è ciò di cui ci occupiamo).
Avevamo visto nel precedente articolo che il vento sul piano (geostrofico) in atmosfera aveva una divergenza non nulla, e l’equazione di continuità ci diceva che sono le velocità verticali a soddisfare questa condizione. L’equazione della vorticità ora ci dirà come sono collegate le due cose.
Cos’è la vorticità? è il rotore del vento.
A cosa serve fare il rotore del vento? Come suggerisce il nome dell’operatore matematico in questione (rotore), indica il grado di rotazione di un fluido. Per ricavarla basta prendere Navier-Stokes e farne il rotore. Si tratta di conti lunghi e noiosi che tralasceremo, arrivando solo all’ultima forma nella quale faremo un’importante considerazione:
Anzitutto notiamo che questa equazione ci fornisce la soluzione del moto, può essere usata nelle Navier-Stokes per fare previsioni per l’atmosfera, dandoci l’evoluzione spazio-temporale della grandezza vorticità (indicata con la lettera omega minuscola).
Guardiamo il membro di destra dell’equazione: abbiamo un prodotto scalare tra la vorticità e l’operatore gradiente. La vorticità è un oggetto che si comporta esattamente come la velocità angolare, secondo la regola della mano destra o regola della vite. La vorticità è un vettore perpendicolare al piano su cui giace il vortice. Se l’atmosfera fosse esattamente bidimensionale, il gradiente del vento orizzontale è un vettore che giace sul piano in cui vi si trova il fluido rotante, quindi ha solo componenti x e y. Dato che, in 2D, la vorticità ha solo componente z, in quanto deve essere perpendicolare al piano su cui giace il vortice, il prodotto scalare tra quella omega e il gradiente è esattamente nullo. Questo vuol dire che la derivata temporale della vorticità per un fluido 2D è 0, ossia la vorticità in 2D si conserva.
Ragioniamo sul significato di questa informazione: sappiamo che in genere i venti sulla Terra sono occidentali, e che sono tanto più forti quanto ci si avvicina dall’equatore al polo. è pura conservazione del momento angolare, come una ballerina che se si stringe attorno al proprio asse di rotazione, ruota più velocemente. In poche parole vuol dire che se seguo una particella d’aria con momento angolare 3, il suo momento angolare rimarrà per sempre 3! in 2D,la vorticità si comporta allo stesso modo. La conservazione del momento angolare esiste in atmosfera come anche per la vorticità, abbiamo osservato poco fa infatti che più si va verso i poli e più forte è il vento zonale attorno ad essi, ma se fosse esattamente vero che la vorticità è conservata vorrebbe dire che guardando una carta meteo dovremmo vedere sempre la stessa mappa con gli stessi vortici di bassa pressione. Sappiamo bene invece che alte pressioni e basse pressioni nascono e si esauriscono, dandoci appunto variabilità meteorologica. Questo ci suggerisce, di nuovo, che l’atmosfera non può essere un fluido esattamente 2D, e dunque che non potevamo trascurare le velocità verticali nell’equazione di continuità.
Notiamo anche che abbiamo mostrato come l’equazione della vorticità ci risolva il moto analogamente alle 3 equazioni per il vento in Navier-Stokes, e facciamo notare che in approssimazione geostrofica avevamo mandato a 0 i termini di accelerazioni sul piano (membro di sinistra della prima equazione del precedente articolo), ottenendo una soluzione che non evolve nel tempo, mentre per la vorticità abbiamo detto che se il fluido è 2D la vorticità non evolve nel tempo. Dunque assumere esattamente valido l’equilibrio geostrofico è equivalente a dire che l’atmosfera si comporta come un fluido 2D, ma abbiamo già dedotto che l’atmosfera non può essere considerata un fluido bidimensionale. Esplicitiamo il prodotto scalare a secondo membro, in particolare ci interessa vedere l’equazione per la componente z della vorticità (ossia la componente perpendicolare alle superfici isobariche dove si trovano i vortici)
Cominciamo col notare che in realtà a rendere non nullo il membro di destra dell’equazione non c’è soltanto il prodotto scalare tra la componente z della vorticità e la derivata in z della Vz (primo termine secondo membro). Infatti gli altri due pezzi di quel prodotto scalare sono tra la componente z della vorticità con la derivata in z del vento sul piano in x e y,che ricordiamo essere lo shear. Dunque lo shear è sorgente di vorticità! Vedremo meglio questa altra importantissima informazione in seguito, vediamo ora il ruolo delle velocità verticali.
L’equazione precedentemente trovata per la vorticità e le considerazioni fatte valgono per un qualunque fluido. L’equazione della vorticità per l’atmosfera, ottenibile facendo il rotore dell’equazione del vento delle primitive, è la seguente, che ora andremo a semplificare ancora con vari passaggi:
Dove con la z greca abbiamo chiamato la componente verticale della vorticità, che è quella che ci interessa.
Ricordiamo che il parametro di Coriolis f è funzione della y, dunque la derivata di f rispetto al tempo e rispetto a z è nulla e possiamo metterlo anche nel primo e terzo termine assieme alla componente z della vorticità
Nell’equazione sopra abbiamo anche usato l’equazione di continuità discussa nell’articolo precedente, sostituendo il termine di derivata verticale della rho*Vz (Vz chiamata w negli ultimi due passaggi) con la divergenza del vento (sottintendendo il pedice H).
In questo modo possiamo raccogliere tutto il primo membro, somma di termine di derivata temporale e avvettivo, sotto il segno di derivata totale temporale: siamo arrivati all’equazione della vorticità per l’atmosfera
Questa equazione ci dice una prima importante informazione: la divergenza del vento è sorgente di vorticità ed è responsabile dell’evoluzione temporale dell’atmosfera.
Risulta ora chiaro matematicamente quanto detto nel precedente articolo, ossia perchè un vento a divergenza nulla non evolve nel tempo. Lo avevamo dedotto osservando che da una sequenza di scatti satellitari di due ore si vedevano le nubi muoversi attorno ad alte e basse pressioni senza essere allontanate/risucchiate da un massimo/minimo di pressione, e abbiamo notato che guardare due ore di immagini satellitari ci da la fotografia esatta di una carta meteo di un tempo fissato. Se prendiamo scatti satellitari a distanza di 6 ore per una serie di qualche giorno, non vedremmo più le nubi seguire delle orbite attorno ai massimi o minimi, ma riusciremmo a vedere traiettorie che le portano ad avvicinarsi ad essi o ad allontanarsi, a questo punto capiamo che l’evoluzione temporale è a divergenza non nulla, ageostrofica .Quello che faremo nei prossimi articoli, sulla base di quanto visto, sarà scomporre il vento sulla terra in una parte geostrofica a divergenza nulla, dominante, e una ageostrofica a divergenza non nulla, più debole.
Vediamo ora in che modo la divergenza crea o distrugge vorticità generando l’evoluzione temporale:
vediamo dall’equazione sopra che, dato un valore della vorticità z greca+f, se la divergenza è negativa la derivata temporale del primo membro è positiva e dunque la vorticità z greca+f cresce nel tempo. Se la divergenza è positiva la derivata temporale è negativa e la vorticità z greca +f diminuisce.
Cos’è una divergenza negativa? quella che viene comunemente chiamata una convergenza. Dove vi si forma una convergenza tende a formarsi un minimo di pressione. Vediamo qual è il ruolo di una “convergenza” o “divergenza” della scala sinottica per capire il ruolo sulla circolazione generale dell’atmosfera, che è quello che ci interessa.
D’ora in avanti chiameremo la quantità z greca+f vorticità assoluta, somma della vorticità relativa z greca e del parametro di Coriolis f. Entrambe le quantità sono sommabili avendo dimensioni di un tempo alla -1 (1/s).
Facendo riferimento all’equazione di continuità possiamo stimare il segno della divergenza. Quello che faremo ora dunque sarà mettere una funzione per la densità dentro il termine di derivata verticale dell’equazione di continuità per poterne studiare il segno. La densità è una funzione che partendo da un valore al suolo “rho0” descresce esponenzialmente con la quota, con una rate data dal fattore di scala H che rappresenta l’altezza della troposfera. Dunque avremo
Abbiamo approssimato la derivata del vento verticale in z col rapporto delle due quantità. Il termine tra parentesi è positivo in quanto in troposfera z è minore di H. Risulta dunque che in base al segno di Vz cambia il segno della divergenza e il comportamento della vorticità: in particolare per Vz positivo, dunque diretto dal basso verso l’alto, la divergenza è negativa (convergenza) e la vorticità aumenta nel tempo. Vz diretto verso il basso implica divergenza positiva e diminuzione di vorticità.
Abbiamo ottenuto dunque la seguente informazione sulla circolazione generale dell’atmosfera: se si approfondisce una bassa pressione si stanno sviluppando velocità verticali dal suolo verso l’alta troposfera. Sotto anticiclone invece si sviluppano venti diretti verso il basso di compressione adiabatica.
Lo schema è esattamente quello rappresentato in figura (fonte: https://www.gmpe.it/node/152) a sinistra abbiamo una divergenza per la presenza di un’area anticiclonica con associato vento verticale diretto verso il suolo, mentre a destra la situazione opposta. Si tratta, ricordiamo, di venti dell’ordine di qualche cm/s, a differenza dei cumulonembi che sono di molti metri al secondo.
Per rispondere dunque ad alcune delle domande che ci siamo inizialmente posti, citiamo gli uragani: questi sistemi infatti nascono da forti temporali che si sviluppano di tanto in tanto sugli oceani equatoriali. Le forti velocità verticali dirette verso l’alto che si sviluppano in un contesto di vento pressochè assente su tutta la colonna (quindi, facendo riferimento all’equazione per la componente z della vorticità, abbiamo non nullo il primo termine del secondo membro e nullo il secondo, si faccia riferimento alla seconda equazione dell’articolo dove il secondo membro dell’equazione di vorticità è stato esplicitato), provocano un forte aumento di vorticità e dunque l’ammasso temporalesco si mette in rotazione, aspirando dal basso energia dagli oceani caldi. Il forte approfondimento è poi incentivato anche dal fatto che alle latitudini tropicali viene meno l’equilibrio geostrofico essendo nulla la forza di Coriolis, dunque il vento di gradiente provoca una forte convergenza di vento al suolo. Analogamente vedremo il caso in cui la vorticità è generata dallo shear, ossia il caso in cui il primo termine del secondo membro è nullo e il secondo non nullo.
Avevamo già visto che i classici fronti delle medie latitudini si sviluppano lungo le cuspidi. Abbiamo detto che il vento è geostrofico in buona approssimazione su scale spaziali e temporali “brevi”. Se il vento segue le isobare, in corrispondenza di una cuspide dovrà subire una brusca variazione, o meglio, una rapida rotazione spaziale, ricordiamo infatti che la derivata totale della vorticità è scomponibile in un termine di derivata temporale della stessa più un termine avvettivo. Se un fronte si muove in situazione geostrofica, quindi su scale temporali brevi, la derivata totale della vorticità si ridurrà a quella avvettiva. Lungo la cuspide in movimento allora si sviluppano velocità verticali positive, responsabili di piogge e rovesci, anche temporaleschi se le velocità verticali possono aspirare molta energia dal basso come accade in autunno sui nostri mari. Questo vuol dire che guardando una carta della vorticità siamo in grado di riconoscere un fronte. Vedremo alcuni esempi nel prossimo articolo.